Python编程实现求解高次方程 python高次方程求根二分法

#头条创作挑战赛#

编程求解一元多次方程，一般情况下对于高次方程我们只求出近似解，较少的情况可以得到精确解。

这里给出两种经典的方法，一种是牛顿迭代法，它是求解方程根的有效方法，通过若干次迭代(重复执行部分代码，每次使变量的当前值被计算出的新值取代)求出近似解；另一种是利用二分法思想逐步缩小解的范围，最终确定近似解。下图是根据以上方程绘制的函数图像。

牛顿迭代法求解方程的步骤：1. 选取x1作为方程的初始解（通常选在解附近，观察图像可以得到）这里设x1=0.5；2. 设解x2=1.5，计算表达式如下图，其中f(x1)=x1**5+x1**4+2*x1-3，f(x1)撇为f(x1)的导数=5*x1**4+4*x1**3+2；3. 如果两个解x2、x1差的绝对值非常小，比如|x1-x2|<0.0000000001，那么x2就可以作为方程的近似解。

def f(x):
    #定义f(x)函数，f(x)=x**5+x**4+2*x-3
    f=x**5+x**4+2*x-3
    return f
def f1(x):
    #定义f1(x)函数(就是f(x)的导数)，f1(x)=5*x**4+4*x**3+2
    f=5*x**4+4*x**3+2
    return f
#第一步，设定初始值解
x1=0.5
x2=1.5
print("迭代过程中x的值是：")

#第二步，当|x1-x2|>0.0000000001时，迭代求解x2
while abs(x1-x2)>1e-10: #当|x1-x2|<0.0000000001时停止寻找最优解
    print(x2)
    x1=x2
    x2=x1-f(x1)/f1(x1)
print("求得近似解是：{:.2f},f(x2)的值为：{:.11f}".format(x2,f(x2)))

二分法思想求解步骤：1. 选取两个初始解x1、x2，要求f(x1)f(x2)<0，即f(x1)和f(x2)的值符号相反，根据图示x1取0.5，f(x1)=-1.90625，x2取1.5，f(x2)=12.65625，这样可以保证x1和x2之间一定存在一个点使得函数为0；2. 计算位于x1和x2的中间的点x0=(x1+x2)/2，当f(x1)f(x0)<0时，表示f(x0)和f(x2)的符号相同，所以可以用f(x0)替换f(x2)，这样我们的查找范围就缩小了一半，如图所示。原来的查找范围x1和x2用蓝色点表示，x0用黄色点表示，现在的查找范围是从左边蓝色点到中间黄色点之间；3. 不断迭代计算x1、x2，直到f(x0)足够小，比如f(x0)<0.000001停止，x0的值就是找到的近似解。

def f(x):
    #定义f(x)函数，f(x)=x**5+x**4+2*x-3
    f=x**5+x**4+2*x-3
    return f

#第一步给定x1和x2的初始值，计算中间值x0
x1=0.5
x2=1.5
x0=(x1+x2)/2
print("迭代过程中x的值是：")

#第二步迭代计算x1和x2的值以及中间值x0，当f(x0)<0.000001时停止，x0即为近似解
while abs(f(x0))>1e-6:  #当f(x0)的绝对值足够小时循环停止
    print(x0)
    if f(x0)*f(x1)<0:  #当f(x0)和f(x1)的符号相反时，右边界变为x0
        x2=x0
    else:              #当f(x0)和f(x1)的符号相同时，左边界变为x0
        x1=x0
    x0=(x1+x2)/2
print("求得近似解是：{:.2f},f(x0)的值为：{:.6f}".format(x0,f(x0)))

两种方法相比，二分法显然计算次数更多，只精确到小数点后6位就需要计算21次，牛顿迭代法更简洁高效收敛速度更快，7次就可以达到小数点后10位的精读，所以求解高次方程，我们更多采用牛顿迭代法和牛顿割线法。