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用R语言做数据分析——回归诊断之统计假设

bigegpt 2024-10-12 05:09 5 浏览

在之前的章节中，我们学会了使用lm()函数来拟合回归模型，通过summary()函数获取模型参数和相关统计量。但是，没有任何输出告诉你模型是否合适，你对模型参数推断的信息依赖于它在多大程度上满足模型统计假设。虽然使用summary()函数对模型有了整体的描述，但是它没有提供关于模型在多大程度上满足统计假设的任何信息。

这非常重要，因为数据的无规律性或者错误设定了预测变量与响应变量的关系，都将导致你的模型产生巨大的偏差。一方面，你可能得出了某个预测变量与响应变量无关的结论，但事实上它们相关；另一方面，情况可能恰好相反。当你的模型应用到真实世界中时，预测效果可能很差，误差显著。而回归诊断就是针对上述情况提出的，它研究的主要内容有：

  1. 关于误差项是否满足正态性、独立性、等方差性、正态性？

  2. 选择线性模型是否合适？

  3. 是否存在异常样本？

  4. 回归分析的结果是否对某些样本的依赖过重？即回归模型是否具备稳定性？

  5. 自变量之间是否存在高度相关？即是否有多重共线性问题存在？

Ｒ基础安装中提供了大量检验回归分析中统计假设的方法，最常见的方法就是对lm()函数返回的对象使用plot()函数，可以生成评价模型拟合情况的四幅图形。下面是简单线性回归的例子：

fit<-lm(weight~height,data=women)

par(mfrow=c(2,2))

plot(fit)

生成的图形如下图所示，par(mfrow=c(2,2))将plot()函数绘制的四幅图形组合在一个大的2*2的途中。

为了理解这些图形，先来掌握一些回归统计假设的知识：

  • 正态性。当预测值固定时，因变量成正态分布，则残差值也应该是一个均值为0的正态分布。正态QQ图（Normal Q-Q，右上）是在正态分布对应的值下，标准化残差的概率图。若满足正态假设，那么图上的点应该落在呈45度角的直线上；若不是如此，那么久违反了正态性假设；

  • 独立性。你无法从这些图中分辨出因变量是否相互独立，只能从收集的数据中来验证。上面的例子中，没有任何先验的理由去相信一个女性的体重会影响到另外一位女性的体重。假若你发现数据是从一个家庭抽样得来的，那么可能必须要调整模型独立性的假设。

  • 线性。若因变量与自变量线性相关，那么残差值与预测（拟合）值就没有任何系统关联。换句话说，除了白噪声，模型应该包含数据中所有的系统方差，在“残差图与拟合图”（Residual vs Fitted）中可以清楚的看到一个曲线关系，这暗示着你可能需要对回归模型加上一个二次项。

  • 同方差性。若满足不变方差假设，那么在位置尺度（Scale-Location Graph，左下）中，水平线周围的点应该随机分布。该图似乎满足此假设。

最后一幅“残差与杠杆图”（Residuals vs Leverage，右下）提供了你可能关注的单个观测点的信息，从图形中可以鉴别出离群点、高杠杆值点和强影响点。下面来详细介绍：

  • 一个观测点是离群点，表明拟合回归模型对其预测效果不佳；

  • 一个观测点有很高的杠杆值，表明它是一个异常的预测变量值的组合，也就是说，在预测变量空间中，它是一个离群点，因变量值不参与计算一个观测点的杠杆值；

  • 一个观测点是强影响点，表明它对模型参数的估计产生的影响过大，非常不成比例。

我们再看看二次拟合的诊断图：

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