选择公理的疑惑 选择公理的数学思想

这里转发百度百科里面关于选择公理的叙述，这个叙述同时指出了选择公理面临的质疑。

选择公理：

设C为一个由非空集合所组成的集合。那么，我们可以从每一个在C中的集合中，都选择一个元素和其所在的集合配成有序对来组成一个新的集合。

非正式地说，选择公理声明：给定一些盒子（可以是无限个），每个盒子中都含有至少一个小球，那么可以作出这样一种选择，使得可从每个盒子中恰好选出一个小球。在很多情况下这样的选择可不借助选择公理；尤其是在“盒子个数有限”和“存在具体的选择规则”（当每个盒子都恰好只有一个小球具有某项特征）这两种情况下。

再举一个例子，假设有许多（甚至是无限）双鞋子，则我们可以选取每双鞋左边的鞋子构成一个具体的选择。然而，假设有无限双袜子（假设每双袜子都没有可区分的特征），在这种情况下，有效的选择只能通过选择公理得到。

尽管曾具有争议性，选择公理现在已被大多数数学家毫无保留地使用着，例如带有选择公理的策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）。数学家们使用选择公理的原因是，有许多被普遍接受的数学定理，比如是吉洪诺夫定理，都需要选择公理来证明。现代的集合论学家也研究与选择公理相矛盾的公理，例如决定公理。

第二个版本的选择公理声称：

给定由相互不交的非空集合组成的任何集合，存在着至少一个集合，它与每个非空集合恰好有一个公共元素。

第三个版本声称：

对于任何集合A，A的幂集（减去空集）有一个选择函数。

数学化例子

1a. 如果C为{1，2，3，…}的所有非空子集的集合，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个在C中的集合的最小元素和所在集合配成的有序对。

2a. 如果C为所有长度有限而非零的实数区间的集合，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个C中的区间的中间点和所在区间配成的有序对。

选择公理实在例子 看来也算是合理，但以上的例可能较数学化、较难理解，现在再用个较实在的例子：

3a. 如果在前面放了放置了几堆苹果。那么，我们可以在每堆中选取一个苹果，再把它们放在新的一堆内。看了这个例子，可能令你更加明白，不过要留意的是所谓“几堆”，可能是无限堆，而每堆苹果也可能是有无限个的，那么，可以换成

3b. 如果在前面放了放置了无限堆苹果，而每堆苹果也有无限个。那么，我们可以在每堆中选取一个苹果，再把它们放在新的一堆内。这个便是“选择公理”。看来也很合理，既然每一堆也是有苹果的，当然可以在每一堆中选择一个苹果出来，不论每堆的苹果数目的多少，和堆数的多少，“应该”也能做到。但在这堆苹果中，究竟选择那一个呢？或许有人会说：“随便一个便可！”

但什么是“随便”呢？可否具体点陈述出来呢？这个“随便”的方法是否必然存在呢？如果数学化点看问题，根据“选择公理”，

2b. 如果C为所有长度非零的实数区间，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个C中的区间中的点和所在区间配成的有序对。

如果仔细的看2b，“每一个C中的区间中的点”，哪一点呢？最大的那一点？最小的那一点？中间的那一点？通通也不存在，因为“长度非零的实数区间”是包括了长度无限的区间，那便可能没有了所谓“最大”、“最小”或“中间”等概念。

那么，如何具体地陈述出方法呢？这个方法会不会不存在呢？这个问题可能还是可以回答的，只是要复杂一些，将集合分为3类：

有限的取中间点，一面无限的取另一面的边界+1或-1，而(-∞，+∞)中取0。

这句话的意思是说，比如是有限集合(a,b)，那就取中间点：(a+b)/2

如果是(-∞，b)或者(a，+∞),那就取(b-1，b)以及(a，a+1)的中间点。

然而下面的问题就确实无法给出答案：

1b. 如果C为实数集R的所有非空子集的集合，那么，我们可以定义一个新集合，使得它的元素为每一个在C中的集合的某一元素和所在集合配成的有序对。

可能有人认为，即使是不能陈述出方法，也不能因此就否定或放弃这公理，因为在数学上有很多“存在性定理”（Existence Theorems），都是只指出某事件的存在性，而不具体描述寻求的方法，例如：中值定理（Mean Value Theorem）及洛尔定理（Rolle's Theorem），都是已证明是正确的存在性定理，所以只要能证明这公理是正确，便可以继续使用。

另外，不能具体陈述出方法，也有可能是括限于人类在语言上的障碍，也即是说，只是不能用人类的语言表达而已，正如最伟大的文学家，也只是用他们认为最适当的语句来表达，可能受到语言限制，不能完全反映他们内心的思想，正所谓“不能言喻”。

综合以上陈述，选择公理倾向的，好像是能够对于选取一个数字的所有集合，应该能够以数学的形式说明具体选取的方法，如果不能够，那这个公理就有人认为存在疑惑。