1.1.10. 贝叶斯回归
贝叶斯回归可以用于在预估阶段的参数正则化: 正则化参数的选择不是通过人为的选择，而是通过手动调节数据值来实现。
上述过程可以通过引入 无信息先验 到模型中的超参数来完成。 在 岭回归中使用的
正则项相当于在
为高斯先验条件，且此先验的精确度为
时，求最大后验估计。在这里，我们没有手工调参数 lambda ，而是让他作为一个变量，通过数据中估计得到。
为了得到一个全概率模型，输出
也被认为是关于
的高斯分布。
Alpha 在这里也是作为一个变量，通过数据中估计得到。
贝叶斯回归有如下几个优点:
- 它能根据已有的数据进行改变。
- 它能在估计过程中引入正则项。
贝叶斯回归有如下缺点:
- 它的推断过程是非常耗时的。
参考资料
一个对于贝叶斯方法的很好的介绍 C. Bishop: Pattern Recognition and Machine learning详细介绍原创算法的一本书 Bayesian learning for neural networks by Radford M. Neal
1.1.10.1. 贝叶斯岭回归
BayesianRidge 利用概率模型估算了上述的回归问题，其先验参数
是由以下球面高斯公式得出的：
先验参数
和
一般是服从 gamma 分布 ，这个分布与高斯成共轭先验关系。 得到的模型一般称为 贝叶斯岭回归，并且这个与传统的 Ridge 非常相似。
参数
是在模型拟合的时候一起被估算出来的，其中参数
通过最大似然估计得到。scikit-learn的实现是基于文献（Tipping，2001）的附录A，参数
的更新是基于文献（MacKay，1992）。
剩下的超参数
以及
是关于
和
的 gamma 分布的先验。 它们通常被选择为 无信息先验 。默认
贝叶斯岭回归用来解决回归问题:
>>> from sklearn import linear_model
>>> X = [[0., 0.], [1., 1.], [2., 2.], [3., 3.]]
>>> Y = [0., 1., 2., 3.]
>>> reg = linear_model.BayesianRidge()
>>> reg.fit(X, Y)
BayesianRidge(alpha_1=1e-06, alpha_2=1e-06, compute_score=False, copy_X=True,
fit_intercept=True, lambda_1=1e-06, lambda_2=1e-06, n_iter=300,
normalize=False, tol=0.001, verbose=False)Copy在模型训练完成后，可以用来预测新值:
>>> reg.predict ([[1, 0.]])
array([ 0.50000013])Copy权值
可以被这样访问:
>>> reg.coef_
array([ 0.49999993, 0.49999993])Copy由于贝叶斯框架的缘故，权值与 普通最小二乘法 产生的不太一样。 但是，贝叶斯岭回归对病态问题（ill-posed）的鲁棒性要更好。
示例:
贝叶斯岭回归
参考资料
Section 3.3 in Christopher M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, 2006David J. C. MacKay, Bayesian Interpolation, 1992.Michael E. Tipping, Sparse Bayesian Learning and the Relevance Vector Machine, 2001.
1.1.10.2. 主动相关决策理论 - ARD
ARDRegression （主动相关决策理论）和 Bayesian Ridge Regression 非常相似，但是会导致一个更加稀疏的权重w[1][2] 。
ARDRegression 提出了一个不同的
的先验假设。具体来说，就是弱化了高斯分布为球形的假设。
它采用
分布是与轴平行的椭圆高斯分布。
也就是说，每个权值
从一个中心在 0 点，精度为
的高斯分布中采样得到的。
并且
.
与 Bayesian Ridge Regression_ 不同， 每个
都有一个标准差
。所有
的先验分布 由超参数
确定的相同的 gamma 分布确定。
ARD 也被称为 稀疏贝叶斯学习 或 相关向量机 [3][4]。
示例:
Automatic Relevance Determination Regression (ARD)
参考资料:
[1] Christopher M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Chapter 7.2.1[2] David Wipf and Srikantan Nagarajan: A new view of automatic relevance determination[3] Michael E. Tipping: Sparse Bayesian Learning and the Relevance Vector Machine[4] Tristan Fletcher: Relevance Vector Machines explained
1.1.11. logistic 回归
logistic 回归，虽然名字里有 “回归” 二字，但实际上是解决分类问题的一类线性模型。在某些文献中，logistic 回归又被称作 logit 回归，maximum-entropy classification（MaxEnt，最大熵分类），或 log-linear classifier（对数线性分类器）。该模型利用函数 logistic function 将单次试验（single trial）的可能结果输出为概率。
scikit-learn 中 logistic 回归在 LogisticRegression 类中实现了二分类（binary）、一对多分类（one-vs-rest）及多项式 logistic 回归，并带有可选的 L1 和 L2 正则化。
注意，scikit-learn的逻辑回归在默认情况下使用L2正则化，这样的方式在机器学习领域是常见的，在统计分析领域是不常见的。正则化的另一优势是提升数值稳定性。scikit-learn通过将C设置为很大的值实现无正则化。
作为优化问题，带 L2罚项的二分类 logistic 回归要最小化以下代价函数（cost function）：
类似地，带 L1 正则的 logistic 回归解决的是如下优化问题：
Elastic-Net正则化是L1 和 L2的组合，来使如下代价函数最小:
其中ρ控制正则化L1与正则化L2的强度(对应于l1_ratio参数)。
注意，在这个表示法中，假定目标y_i在测试时应属于集合[-1,1]。我们可以发现Elastic-Net在ρ=1时与L1罚项等价,在ρ=0时与L2罚项等价
在 LogisticRegression 类中实现了这些优化算法: liblinear， newton-cg， lbfgs， sag 和 saga。
liblinear应用了坐标下降算法（Coordinate Descent, CD），并基于 scikit-learn 内附的高性能 C++ 库 LIBLINEAR library 实现。不过 CD 算法训练的模型不是真正意义上的多分类模型，而是基于 “one-vs-rest” 思想分解了这个优化问题，为每个类别都训练了一个二元分类器。因为实现在底层使用该求解器的 LogisticRegression 实例对象表面上看是一个多元分类器。 sklearn.svm.l1_min_c 可以计算使用 L1时 C 的下界，以避免模型为空（即全部特征分量的权重为零）。
lbfgs, sag 和 newton-cg 求解器只支持 L2罚项以及无罚项，对某些高维数据收敛更快。这些求解器的参数 multi_class设为 multinomial 即可训练一个真正的多项式 logistic 回归 [5] ，其预测的概率比默认的 “one-vs-rest” 设定更为准确。
sag 求解器基于平均随机梯度下降算法（Stochastic Average Gradient descent） [6]。在大数据集上的表现更快，大数据集指样本量大且特征数多。
saga 求解器 [7] 是 sag 的一类变体，它支持非平滑（non-smooth）的 L1 正则选项 penalty="l1" 。因此对于稀疏多项式 logistic 回归 ，往往选用该求解器。saga求解器是唯一支持弹性网络正则选项的求解器。
lbfgs是一种近似于Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno算法[8]的优化算法，属于准牛顿法。lbfgs求解器推荐用于较小的数据集，对于较大的数据集，它的性能会受到影响。[9]
总的来说，各求解器特点如下:
默认情况下，lbfgs求解器鲁棒性占优。对于大型数据集，saga求解器通常更快。对于大数据集，还可以用 SGDClassifier ，并使用对数损失（log loss）这可能更快，但需要更多的调优。
示例：
Logistic回归中的L1罚项和稀疏系数L1罚项-logistic回归的路径多项式和OVR的Logistic回归newgroups20上的多类稀疏Logistic回归使用多项式Logistic回归和L1进行MNIST数据集的分类
与 liblinear 的区别:
当 fit_intercept=False 拟合得到的 coef_ 或者待预测的数据为零时，用 solver=liblinear 的 LogisticRegression 或 LinearSVC 与直接使用外部 liblinear 库预测得分会有差异。这是因为， 对于 decision_function 为零的样本， LogisticRegression 和 LinearSVC 将预测为负类，而 liblinear 预测为正类。 注意，设定了 fit_intercept=False ，又有很多样本使得 decision_function 为零的模型，很可能会欠拟合，其表现往往比较差。建议您设置 fit_intercept=True 并增大 intercept_scaling 。
注意:利用稀疏 logistic 回归进行特征选择
带 L1罚项的 logistic 回归 将得到稀疏模型（sparse model），相当于进行了特征选择（feature selection），详情参见 基于 L1 的特征选取。
LogisticRegressionCV 对 logistic 回归 的实现内置了交叉验证（cross-validation），可以找出最优的 C和l1_ratio参数 。newton-cg， sag， saga 和 lbfgs 在高维数据上更快，这是因为采用了热启动（warm-starting）。
参考资料：
[5] Christopher M. Bishop: Pattern Recognition and Machine Learning, Chapter 4.3.4[6] Mark Schmidt, Nicolas Le Roux, and Francis Bach: Minimizing Finite Sums with the Stochastic Average Gradient.[7] Aaron Defazio, Francis Bach, Simon Lacoste-Julien: SAGA: A Fast Incremental Gradient Method With Support for Non-Strongly Convex Composite Objectives.[8]https://en.wikipedia.org/wiki/Broyden%E2%80%93Fletcher%E2%80%93Goldfarb%E2%80%93Shanno_algorithm[9] “Performance Evaluation of Lbfgs vs other solvers”
1.1.12. 随机梯度下降， SGD
随机梯度下降是拟合线性模型的一个简单而高效的方法。在样本量（和特征数）很大时尤为有用。 方法 partial_fit 可用于 online learning （在线学习）或基于 out-of-core learning （外存的学习）
SGDClassifier 和 SGDRegressor 分别用于拟合分类问题和回归问题的线性模型，可使用不同的（凸）损失函数，支持不同的罚项。 例如，设定 loss="log" ，则 SGDClassifier 拟合一个逻辑斯蒂回归模型，而 loss="hinge" 拟合线性支持向量机（SVM）。
参考资料
随机梯度下降
1.1.13. Perceptron（感知器）
Perceptron 是适用于大规模学习的一种简单算法。默认情况下：
- 不需要设置学习率（learning rate）。
- 不需要正则化处理。
- 仅使用错误样本更新模型。
最后一点表明使用合页损失（hinge loss）的感知机比 SGD 略快，所得模型更稀疏。
1.1.14. Passive Aggressive Algorithms（被动攻击算法）
被动攻击算法是大规模学习的一类算法。和感知机类似，它也不需要设置学习率，不过比感知机多出一个正则化参数 C 。
对于分类问题， PassiveAggressiveClassifier 可设定 loss='hinge' （PA-I）或 loss='squared_hinge'（PA-II）。对于回归问题， PassiveAggressiveRegressor 可设置 loss='epsilon_insensitive' （PA-I）或 loss='squared_epsilon_insensitive' （PA-II）。
参考资料：
“Online Passive-Aggressive Algorithms” K. Crammer, O. Dekel, J. Keshat, S. Shalev-Shwartz, Y. Singer - JMLR 7 (2006)
1.1.15. 稳健回归（Robustness regression）: 处理离群点（outliers）和模型错误
稳健回归（robust regression）特别适用于回归模型包含损坏数据（corrupt data）的情况，如离群点或模型中的错误。
1.1.15.1. 各种使用场景与相关概念
处理包含离群点的数据时牢记以下几点:
- 离群值在 X 上还是在 y 方向上?离群值在 y 方向上离群值在 X 方向上
- 离群点的比例 vs. 错误的量级（amplitude）离群点的数量很重要，离群程度也同样重要。低离群点的数量高离群点的数量
稳健拟合（robust fitting）的一个重要概念是崩溃点（breakdown point），即拟合模型（仍准确预测）所能承受的离群值最大比例。
注意，在高维数据条件下（ n_features大），一般而言很难完成稳健拟合，很可能完全不起作用。
寻找平衡： 预测器的选择
Scikit-learn提供了三种稳健回归的预测器（estimator）: RANSAC ， Theil Sen 和 HuberRegressor
HuberRegressor 一般快于 RANSAC 和 Theil Sen ，除非样本数很大，即 n_samples >> n_features 。 这是因为 RANSAC 和 Theil Sen 都是基于数据的较小子集进行拟合。但使用默认参数时， Theil Sen 和 RANSAC 可能不如 HuberRegressor 鲁棒。
RANSAC 比 Theil Sen 更快，在样本数量上的伸缩性（适应性）更好。RANSAC 能更好地处理y方向的大值离群点（通常情况下）。Theil Sen 能更好地处理x方向中等大小的离群点，但在高维情况下无法保证这一特点。 实在决定不了的话，请使用 RANSAC
1.1.15.2. RANSAC： 随机抽样一致性算法（RANdom SAmple Consensus）
随机抽样一致性算法（RANdom SAmple Consensus， RANSAC）利用全体数据中局内点（inliers）的一个随机子集拟合模型。
RANSAC 是一种非确定性算法，以一定概率输出一个可能的合理结果，依赖于迭代次数（参数 max_trials）。这种算法主要解决线性或非线性回归问题，在计算机视觉摄影测绘领域尤为流行。
算法从全体样本输入中分出一个局内点集合，全体样本可能由于测量错误或对数据的假设错误而含有噪点、离群点。最终的模型仅从这个局内点集合中得出。
1.1.15.2.1. 算法细节
每轮迭代执行以下步骤:
- 从原始数据中抽样 min_samples 数量的随机样本，检查数据是否合法（见 is_data_valid ）。
- 用一个随机子集拟合模型（ base_estimator.fit ）。检查模型是否合法（见 is_model_valid ）。
- 计算预测模型的残差（residual），将全体数据分成局内点和离群点（ base_estimator.predict(X) - y）。绝对残差小于 residual_threshold 的全体数据认为是局内点。
- 若局内点样本数最大，保存当前模型为最佳模型。以免当前模型离群点数量恰好相等（而出现未定义情况），规定仅当数值大于当前最值时认为是最佳模型。
上述步骤或者迭代到最大次数（ max_trials ），或者某些终止条件满足时停下（见 stop_n_inliers 和 stop_score )。最终模型由之前确定的最佳模型的局内点样本（一致性集合，consensus set）预测。
函数 is_data_valid 和 is_model_valid 可以识别出随机样本子集中的退化组合（degenerate combinations）并予以丢弃（reject）。即便不需要考虑退化情况，也会使用 is_data_valid ，因为在拟合模型之前调用它能得到更高的计算性能。
示例：
基于RANSAC的稳健线性模型估计稳健线性估计拟合
参考资料：
https://en.wikipedia.org/wiki/RANSAC“Random Sample Consensus: A Paradigm for Model Fitting with Applications to Image Analysis and Automated Cartography” Martin A. Fischler and Robert C. Bolles - SRI International (1981)“Performance Evaluation of RANSAC Family” Sunglok Choi, Taemin Kim and Wonpil Yu - BMVC (2009)
1.1.15.3. Theil-Sen 预估器: 广义中值估计器（generalized-median-based estimator）
TheilSenRegressor 估计器：使用中位数在多个维度泛化，对多元异常值更具有鲁棒性，但问题是，随着维数的增加，估计器的准确性在迅速下降。准确性的丢失，导致在高维上的估计值比不上普通的最小二乘法。
示例:
广义中值估计器回归稳健线性估计拟合
参考资料:
https://en.wikipedia.org/wiki/Theil%E2%80%93Sen_estimator
1.1.15.3.1. 算法理论细节
TheilSenRegressor 在渐近效率和无偏估计方面足以媲美 Ordinary Least Squares (OLS) （普通最小二乘法（OLS））。与 OLS 不同的是， Theil-Sen 是一种非参数方法，这意味着它没有对底层数据的分布假设。由于 Theil-Sen 是基于中值的估计，它更适合于损坏的数据即离群值。 在单变量的设置中，Theil-Sen 在简单的线性回归的情况下，其崩溃点大约 29.3% ，这意味着它可以容忍任意损坏的数据高达 29.3% 。
scikit-learn 中实现的 TheilSenRegressor 是多元线性回归模型的推广 [8] ，利用了空间中值方法，它是多维中值的推广 [9] 。
关于时间复杂度和空间复杂度，Theil-Sen 的尺度根据
这使得它不适用于大量样本和特征的问题。因此，可以选择一个亚群的大小来限制时间和空间复杂度，只考虑所有可能组合的随机子集。
示例:
广义中值估计器回归
参考资料:
[10] Xin Dang, Hanxiang Peng, Xueqin Wang and Heping Zhang: Theil-Sen Estimators in a Multiple Linear Regression Model. |[11] K?rkk?inen and S. ?yr?m?: On Computation of Spatial Median for Robust Data Mining.
1.1.15.4. Huber 回归
HuberRegressor 与 Ridge 不同，因为它对于被分为异常值的样本应用了一个线性损失。如果这个样品的绝对误差小于某一阈值，样品就被分为内围值。 它不同于 TheilSenRegressor 和 RANSACRegressor ，因为它没有忽略异常值的影响，并分配给它们较小的权重。
这个 HuberRegressor 最小化的损失函数是：
其中
建议设置参数 epsilon 为 1.35 以实现 95% 统计效率。
1.1.15.5. 注意
HuberRegressor 与将损失设置为 huber的 SGDRegressor 并不相同，体现在以下方面的使用方式上。
- HuberRegressor 是标度不变性的. 一旦设置了 epsilon ， 通过不同的值向上或向下缩放 X 和 y ，就会跟以前一样对异常值产生同样的鲁棒性。相比 SGDRegressor 其中 epsilon 在 X 和 y 被缩放的时候必须再次设置。
- HuberRegressor 应该更有效地使用在小样本数据，同时 SGDRegressor 需要一些训练数据的 passes 来产生一致的鲁棒性。
示例:
强异常数据集上的huberregression与 Ridge
参考资料:
Peter J. Huber, Elvezio M. Ronchetti: Robust Statistics, Concomitant scale estimates, pg 172
另外，这个估计是不同于 R 实现的 Robust Regression (http://www.ats.ucla.edu/stat/r/dae/rreg.htm) ，因为 R 实现加权最小二乘，权重考虑到每个样本并基于残差大于某一阈值的量。
1.1.16. 多项式回归：用基函数展开线性模型
机器学习中一种常见的模式，是使用线性模型训练数据的非线性函数。这种方法保持了一般快速的线性方法的性能，同时允许它们适应更广泛的数据范围。
例如，可以通过构造系数的 polynomial features 来扩展一个简单的线性回归。在标准线性回归的情况下，你可能有一个类似于二维数据的模型:
如果我们想把抛物面拟合成数据而不是平面，我们可以结合二阶多项式的特征，使模型看起来像这样:
观察到这 还是一个线性模型 （这有时候是令人惊讶的）: 看到这个，想象创造一个新的变量
有了这些重新标记的数据，我们可以将问题写成
我们看到，所得的 polynomial regression 与我们上文所述线性模型是同一类（即关于
是线性的），因此可以用同样的方法解决。通过用这些基函数建立的高维空间中的线性拟合，该模型具有灵活性，可以适应更广泛的数据范围。
这里是一个示例，使用不同程度的多项式特征将这个想法应用于一维数据:
这个图是使用 PolynomialFeatures 预创建。该预处理器将输入数据矩阵转换为给定度的新数据矩阵。使用方法如下:
>>> from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
>>> import numpy as np
>>> X = np.arange(6).reshape(3, 2)
>>> X
array([[0, 1],
[2, 3],
[4, 5]])
>>> poly = PolynomialFeatures(degree=2)
>>> poly.fit_transform(X)
array([[ 1., 0., 1., 0., 0., 1.],
[ 1., 2., 3., 4., 6., 9.],
[ 1., 4., 5., 16., 20., 25.]])CopyX 的特征已经从
转换到
, 并且现在可以用在任何线性模型。
这种预处理可以通过 Pipeline 工具进行简化。可以创建一个表示简单多项式回归的单个对象，使用方法如下所示:
>>> from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
>>> from sklearn.linear_model import LinearRegression
>>> from sklearn.pipeline import Pipeline
>>> import numpy as np
>>> model = Pipeline([('poly', PolynomialFeatures(degree=3)),
... ('linear', LinearRegression(fit_intercept=False))])
>>> # fit to an order-3 polynomial data
>>> x = np.arange(5)
>>> y = 3 - 2 * x + x ** 2 - x ** 3
>>> model = model.fit(x[:, np.newaxis], y)
>>> model.named_steps['linear'].coef_
array([ 3., -2., 1., -1.])Copy利用多项式特征训练的线性模型能够准确地恢复输入多项式系数。
在某些情况下，没有必要包含任何单个特征的更高的幂，只需要相乘最多
个不同的特征即可，所谓 interaction features（交互特征） 。这些可通过设定 PolynomialFeatures 的 interaction_only=True 得到。
例如，当处理布尔属性，对于所有
，因此是无用的；但
代表两布尔结合。这样我们就可以用线性分类器解决异或问题:
>>> from sklearn.linear_model import Perceptron
>>> from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures
>>> import numpy as np
>>> X = np.array([[0, 0], [0, 1], [1, 0], [1, 1]])
>>> y = X[:, 0] ^ X[:, 1]
>>> y
array([0, 1, 1, 0])
>>> X = PolynomialFeatures(interaction_only=True).fit_transform(X).astype(int)
>>> X
array([[1, 0, 0, 0],
[1, 0, 1, 0],
[1, 1, 0, 0],
[1, 1, 1, 1]])
>>> clf = Perceptron(fit_intercept=False, max_iter=10, tol=None,
... shuffle=False).fit(X, y)Copy分类器的 “predictions” 是完美的:
>>> clf.predict(X)
array([0, 1, 1, 0])
>>> clf.score(X, y)
1.0Copy一直在努力!
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