1. 拉格朗日多项式插值

1. 了解概念

   插值多项式

   插值节点

   范德蒙特(Vandermonde)行列式

   截断误差、插值余项

2. 特点

3. 函数实现

   function y=lagrange(x0,y0,x) n=length(x0);m=length(x); for i=1:m z=x(i); s=0.0; for k=1:n p=1.0; for j=1:n if j~=k p=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));

设n个节点数据以数组x0,y0输入（注意Matlat的数组下标从1开始），m个插值点以数组x 输入，输出数组y为m个插值。

则可用

y = lagrange(x0,y0,x)

调用。

2. 牛顿（Newton）插值

1. 了解概念

   差商

   差分

   等距节点插值公式(Newton向前插值公式)

2. 特点

   每增加一个节点，插值多项式只增加一项，因而便于递推运算。而且 Newton 插值的计算量小于Lagrange 插值。

3. 函数实现

3. 分段线性插值

1. 了解概念

   插值多项式的振荡

2. 特点

   将每两个相邻的节点用直线连起来，如此形成的一条折线就是分段线性插值函数。它是为了解决高次插值多项式的缺陷：随着插值次数n增加，虽然误差减小，但插值函数光滑性变坏，有时会出现很大的振荡。

   实际上用函数表作插值计算时，分段线性插值就足够了，如数学、物理中用的特殊函数表，数理统计中用的概率分布表等。

y=interp1(x0,y0,x,'method')

1. method 指定插值的方法，默认为线性插值。其值可为：

2. 函数实现

   一维插值函数interp1：

4. 埃尔米特(Hermite)插值

1. 了解概念

2. 特点

   如果对插值函数，不仅要求它在节点处与函数同值，而且要求它与函数有相同的一

   阶、二阶甚至更高阶的导数值，这就是Hermite 插值问题。

   这里主要讨论在节点处插值函数与函数的值及一阶导数值均相等的Hermite 插值。

3. 函数实现

   设n个节点的数据以数组x0（已知点的横坐标）， y0（函数值）， y1（导数值）输入（注意Matlat 的数组下标从1 开始），m 个插值点以数组x 输入，输出数组y 为m个插值。

   function y=hermite(x0,y0,y1,x)

5. 样条插值

1. 了解概念

   样条函数

   关于分划Δ的k次样条函数 k次样条曲线 样条节点 内节点 边界点 k次样条函数空间

   二次样条函数 三次样条函数

2. 特点

   有些问题对插值函数的光滑性有较高要求，要求曲线具有较高的光滑程度，不仅要连续，而且要有连续的曲率，这就导致了样条插值的产生。

3. 函数实现

    y=interp1(x0,y0,x,'spline')； y=spline(x0,y0,x)； pp=csape(x0,y0,conds)，y=ppval(pp,x)。

6. B样条函数插值方法

1. 了解概念

   磨光函数

   等距B样条函数

   一维等距B样条函数插值 二维等距B样条函数插值

2. 特点

   实际中的许多问题，往往是既要求近似函数（曲线或曲面）有足够的光滑性，又要求与实际函数有相同的凹凸性，一般插值函数和样条函数都不具有这种性质。如果对于一个特殊函数进行磨光处理生成磨光函数（多项式），则用磨光函数构造出样条函数作为插值函数，既有足够的光滑性，而且也具有较好的保凹凸性，因此磨光函数在一维插值（曲线）和二维插值（曲面）问题中有着广泛的应用。

3. 函数实现

7. 二维插值

1. 了解概念

   插值节点为网格节点

   插值节点为散乱节点

2. 特点

3. 函数实现

插值节点为网格节点

二次样条插值：

z=interp2(x0,y0,z0,x,y,'method')

其中 x0,y0分别为m维和n维向量，表示节点，z0为n × m维矩阵表示节点值，x,y为一维数组表示插值点x与y应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量，z为矩阵，它的行数为y的维数，列数为x的维数，表示得到的插值，'method'的用法同上面一维插值。

三次样条插值：

pp=csape({x0,y0},z0,conds,valconds)，z=fnval(pp,{x,y})

其中 x0,y0 分别为m 维和n维向量，z0 为m × n 维矩阵，z 为矩阵，它的行数为x的维数，列数为y 的维数，表示得到的插值，使用方法同一维插值。

插值节点为散乱节点

已知n个节点：(x , y , z )(i 1,2, ,n) i i i = L ，求点(x, y)处的插值z：

ZI = GRIDDATA(X,Y,Z,XI,YI)

其中X、Y、Z 均为n 维向量，指明所给数据点的横坐标、纵坐标和竖坐标。向量XI、YI是给定的网格点的横坐标和纵坐标，返回值ZI为网格（XI，YI）处的函数值。XI与YI应是方向不同的向量，即一个是行向量，另一个是列向量。

最小二乘法的Matlab 实现

1. 解方程组方法

   A = R \Y

   x=[19 25 31 38 44]';

a=polyfit(x0,y0,m)

1. 多项式拟合方法

y=polyval(a,x)

1. 计算。

   其中输入参数x0,y0 为要拟合的数据，m 为拟合多项式的次数，输出参数a 为拟合多项式y=amxm+…+a1x+a0 系数a=[ am, …, a1, a0]。

   多项式在x 处的值y可用

最小二乘优化

在Matlab 优化工具箱中，用于求解最小二乘优化问题的函数有：lsqlin、lsqcurvefit、lsqnonlin、lsqnonneg

1. lsqlin 函数

x=lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0)

X = LSQNONNEG(C,d,X0,OPTIONS)

1. lsqcurvefit 函数

X=LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA,LB,UB,OPTIONS)

X=LSQNONLIN(FUN,X0,LB,UB,OPTIONS)

1. lsqnonlin 函数

2. lsqnonneg 函数

End.

作者：小潘东

來源：简书