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文|玉莹沙

编辑|玉莹沙

齿轮传动是应用最为广泛地传动形式之一，而人字齿轮更是具有承载高，工作平稳，轴向力小等优点，在船舶、航空传动装置中被大量应用。

但是关于人字齿轮的动力学研究主要是理论上的，缺乏动态模型的实验验证，且较少实验研究磨损对人字齿轮动力学的影响，而磨损是影响齿轮系统动力学的重要因素。

为解决这个问题，本次研究进行了人字齿轮系统振动实验和理论研究，以研究人字齿轮副的动态行为，着重于人字齿轮副在不同转速、不同负载、不同运行次数条件下的振动特性。

最后，通过与实验数据的直接比较来验证模型的预测准确性。

考虑磨损的动力学模型参数计算

黏着磨损计算可由图所示的模型计算，接触面上单点累积磨损的计算方法如下：

式中，j为1或2，k1 为磨损率，h为磨损深度，a为接触半宽，p为赫兹接触压力，v1，v2为主从动轮的滚动速度。

齿轮啮合传动时，两渐开线齿廓之间存在相对滑动，在载荷作用下，齿面间的灰尘，硬屑粒引起轮齿齿面磨损。

严重的磨损将使齿面渐开线齿形失真，齿侧间隙增大，从而产生冲击和噪音，甚至发生齿轮折断。

如图2所示为典型的磨损曲线图，表示磨损量Q随时间T的变化关系：

阶段一，为磨合磨损阶段，出现在摩擦副开始运行时期。

阶段二，为稳定磨损阶段，摩擦表面经过磨合以后达到稳定状态。

阶段三，为剧烈磨损阶段。

啮合刚度计算

本次研究采用材料力学法，基于势能原理的齿轮轮齿刚度计算方法，根据计算模型建模思想，考虑轮齿啮合时的弯曲、剪切、轴向压缩变形引起的等效刚度、齿面弹性接触变形引起的赫兹接触刚度以及轮体变形引起的等效刚度。

单个轮齿在载荷作用点沿啮合线方向的变形量如式（2）所示：

式中，δBr，j是弯曲产生的变形量，δBt，j剪力产生的变形量，δR，j是基础部分变形量，δpe，j是载荷作用点由于接触而产生的变形量，δ是长方形部分的弯曲变形量：

δ是梯形部分的剪力产生的变形量：

δR，j为基础部分产生的变形量：

δpe，j是载荷作用点由于接触而产生的变形量：

根据轮齿的几何形状，可以得到：

式中：z为齿数，x为变位系数，rg、rk、rr、rF、rx、an、a'分别为基圆半径、齿顶圆半径、齿根圆半径、有效齿根圆半径、载荷作用点和齿轮中心点的距离、压力角、啮合角。

则轮齿的时变啮合刚度为：

式中，N为齿轮啮合对数。

啮合误差

因此，考虑磨损的齿廓偏差为：

式中，(GT(0))p，g为主动轮p或从动轮g的初始齿廓偏差，由制造误差引起的，Σ(hik)i=1为第k次啮合使主动轮p或从动轮g产生的磨损量。

借助人字齿轮副几何接触分析，获得齿廓偏差引起的啮合误差，并表示为：

式中e，Ψ分别为齿廓和齿距偏差引起的啮合误差的幅值和初始相位角，fm为齿轮啮合频率，M 为谐波次数，一般取3~5。

人字齿轮传动系统动力学模型

如图a所示为单级人字齿轮传动系统，功率从主动轮所在轴的左端输入，由从动轮所在轴的右端输出。

建立了人字齿轮传动系统的平移-扭转振动分析动力学模型，如图5b所示。

模型具有主、从动齿轮沿x、y、z向平移和绕z轴旋转的16个自由度β为螺旋角，ei为综合啮合误差，αt为端面压力角，ψ为安装相位角，φ为端面啮合线与y轴夹角。

左右啮合齿面节点广义坐标为，其中p，g代表主动轮和从动轮，i代表l或r，左啮合副或右啮合副。

上图图5b可知，安装相位角为：

δmi(t)表示啮合副在啮合方向上的相对位移，考虑了磨损和温升导致的齿廓变形以及齿形和偏心误差的位移可表示为：

啮合轮齿间的动态啮合力为：

式中，cm为平均啮合副阻尼，km为平均啮合刚度，采用Kisssoft软件计算了平均啮合刚度km，啮合阻尼cm用如下经验公式计算：

r1、r2分别为两齿轮的节圆半径，I1、I2分别为两齿轮的转动惯量，ξ齿轮的阻尼比，通常取值范围为[0.03，0.17]，本次研究取为0.1。

x、y、z方向上的分力Fx、Fy、Fz为：

系统的动力学方程为：

式中，i为L或R，即左啮合副和右啮合副；m和I表示齿轮质量和转动惯量，c为各轴轴承的支撑阻尼，k为各轴轴承的支撑刚度，β为螺旋角，主动轮右旋取正值，左旋取负值。

利用Timoshenko梁单元理论，将左右斜齿组合起来，得到人字齿轮传动系统动力学方程为：

其中[M]为质量矩阵，[C]为阻尼矩阵，[K]为刚度矩阵，采用Runge-Kutta法对建立的动力学微分方程进行求解，结合表1数据在Matlab中编程，求得本次研究中人字齿轮系统的动力学时域曲线。

试验研究

在本次测试中，人字齿轮的左右两边是通过一个刚性法兰连接在一起的，它们是由一个毛坯加工而成的，人字齿轮的左右两侧被设计为单独的独立齿轮，定位和安装在一个中心法兰上。

图6为人字齿轮的安装示意图，设定齿轮系统的输入转速为100r/min，200r/min，300r/min，400r/min，500r/min，输入转矩为100N·m，150N·m，200N·m。

分别测量五种不同运行次数下测点的振动加速度，即运转工况为初始运转，3×106、5×106、1×107、5×107。

利用德国Strama公司的齿轮接触疲劳试验台对人字齿轮传动系统的动态特性进行测试，如图7所示。

试验台主要由一个伺服齿轮箱和一个有两对试验齿轮的试验齿轮箱组成，试验台通过电机驱动，试验所需的负载转矩由液力扭矩器提供，加速度传感器采集测试齿轮箱的振动信号，加速度传感器型号为KistlerTyp870350M5。

图 8 为加速度传感器的位置，测点 1 对应主动齿轮 x 方向的振动，测点 2 对应从动齿轮 x 方向的振动。

对人字齿轮传动系统进行试验研究，结合理论方法，进一步揭示磨损对人字齿轮传动系统的动力学特性的影响。

根据运行工况，设计不同的实验工况，从而得到不同负载，不同转速、不同运行次下的人字齿轮传动系统的振动特性和规律。

结果分析和讨论

图9和图10分别为输入转速为500r/min，输入转矩为200N·m时，不同运行次数条件下齿轮系统各构件在x、y方向的振动位移时域曲线。

如图所示，主、从动轮的振动位移呈周期性变化，随着齿轮系统运行次数的增加，主、从动轮在x、y方向的振动位移幅值先减小后增大。

图11为齿轮系统沿啮合线振动位移时域曲线，随着运行次数的增加，齿轮系统沿啮合线方向振动位移也呈现先减小后增大的变化趋势。

这是因为，随着运行次数的增加，齿面累积磨损量增大，导致齿侧间隙、啮合刚度发生变化。

当齿轮系统处于磨合磨损阶段时，振动位移幅值有减小的趋势，当齿轮处于正常磨损状态时，振动位移幅值有缓慢增大的趋势。

图12和图13分别为输入转速为500r/min，输入转矩为200N·m时，不同运行次数条件下齿轮系统各构件在x、y方向的振动加速度时域曲线。

当齿轮系统运行次数为初始运行次数时，主动轮在x、y方向的振动速度幅值分别为0.081m/s、0.12m/s，从动轮在x、y方向的振动速度幅值分别为0.079m/s、0.089m/s。

当运行次数为3×106，齿轮系统处于磨合磨损阶段，主动轮在x、y方向的振动速度幅值分别降为0.079m/s、0.098m/s，从动轮在x、y方向的振动速度幅值分别为0.054m/s、0.081m/s。

当运行次数为5×106，齿轮系统处于正常磨损阶段，主动轮在x、y方向的振动速度幅值分别增加至0.089m/s。

如13图所示，为齿轮系统沿啮合线振动速度时域曲线，随着运行次数的增加，齿轮系统沿啮合线方向振动速度也呈现先减小后增大的变化趋势。

齿轮系统运行次数约为初始运转、3×106、5×106、1×107、5×107时，啮合轮齿沿啮合线的振动速度为0.00596m/s，0.00529m/s，0.00705m/s，0.00817m/s，0.01381m/s。

如图14所示，齿轮系统从初始运转状态到运行次数为3×106，啮合轮齿沿啮合线的振动速度下降了约11.2%，齿轮系统从运行次数为3×106到运行次数5×107，啮合轮齿沿啮合线的振动速度增加了1.6倍。

下图为测试数据和理论数据对比图，此时，齿轮系统运行次数约为1×107，输入转速为500r/min，输入转矩为200N·m的振动加速度测试数据和理论数据。

从图a可以看出，主动轮的振动加速度理论计算值在幅值范围-0.12m/s2到0.12m/s2呈周期性变化，测试值大部分数据也在幅值范围-0.12m/s2到0.12m/s2呈周期性变化。

从图15b可以看出，主动轮的振动加速度理论计算值在幅值范围-0.071m/s2到0.071m/s2呈周期性变化，测试值大部分数据也在幅值范围-0.071m/s2到0.071m/s2呈周期性变化。

由此可以证明理论模型的正确性。

下图为实测人字齿轮系统振动加速度幅值随输入工况的变化情况。

当输入转矩相同时，振动加速度幅值随着输入转速的增大而增大。

当输入转速相同时，振动加速度幅值没有随着输入转矩的增大而增大。

和理论计算结果一致，齿轮系统经过磨合磨损以后，齿轮系统各构件的振动加速度幅值会降低，当齿轮系统继续运转进入稳定磨损阶段后，齿轮系统各构件的振动加速度幅值会慢慢增大。

总结

第一：建立考虑齿面磨损，啮合误差、啮合刚度的人字齿轮啮合副12自由度弯扭轴耦合模型，对不同运行次数下的人字齿轮系统各构件动态特性进行了理论分析。

第二：搭建了人字齿轮传动系统振动测试试验台，测试了不同运行次数下人字齿轮传动系统输入轴轴承和输出轴轴承位置的振动加速度。

第三：随着运行次数的增加，人字齿轮系统各构件的振动位移幅值、振动加速度幅值呈现先减小后增大的变化趋势。

第四：人字齿轮系统从初始运转状态到运行次数为3×106，啮合轮齿沿啮合线的振动速度下降了约11.2%，齿轮系统从运行次数为3×106到运行次数5×107，啮合轮齿沿啮合线的振动速度增加了1.6倍。